コンパクト生成位相空間の定義、特徴付け、およびその証明

$(\Rightarrow)$ の証明：

$f: X \to Y$ が連続であると仮定します。このとき、任意の $g \in \mathcal{C}(X)$（すなわち連続写像 $g: K \to X$）に対して、連続写像の合成 $f \circ g: K \to Y$ も連続写像の一般的な性質から当然連続となります。

$(\Leftarrow)$ の証明：

任意の $g \in \mathcal{C}(X)$ に対して $f \circ g: K \to Y$ が連続であると仮定します。$f$ が $X$ 上で連続であることを示すために、$Y$ の任意の閉集合 $B$ を取ります。このとき、逆像 $A = f^{-1}(B)$ が $X$ の閉集合であることを示せば十分です。

$X$ はコンパクト生成空間であるため、$A$ が「$k$閉集合」であることを示せば、元の位相でも閉集合であることが従います。そこで、任意の $g \in \mathcal{C}(X)$ （$g: K \to X$）を取ると、集合の基本性質より以下が成り立ちます： $$ g^{-1}(A) = g^{-1}(f^{-1}(B)) = (f \circ g)^{-1}(B) $$ 仮定より合成写像 $f \circ g$ は連続であり、$B$ は $Y$ の閉集合なので、$(f \circ g)^{-1}(B)$ は $K$ の閉集合です。

したがって、任意の $g \in \mathcal{C}(X)$ に対して $g^{-1}(A)$ は $K$ の閉集合となるため、$A$ は $k$閉集合の定義を満たします。$X$ はコンパクト生成空間なので、$A = f^{-1}(B)$ は $X$ の通常の位相における閉集合となります。ゆえに $f$ は連続です。

まず、$\mathcal{T}_k$ が位相の公理（閉集合の条件）を満たすことを確認します。

1. 空集合と全体集合： 任意の $g \in \mathcal{C}(X)$ に対して $g^{-1}(\emptyset) = \emptyset$ であり、$g^{-1}(X) = K$ です。これらはコンパクトハウスドルフ空間 $K$ の閉集合なので、$\emptyset, X$ はともに $k$閉集合です。
2. 任意の共通部分： $k$閉集合の任意の族 $\{A_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$ に対し、その共通部分を考えると、 $$ g^{-1}\left(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}\right) = \bigcap_{\lambda \in \Lambda} g^{-1}(A_{\lambda}) $$ となります。各 $g^{-1}(A_{\lambda})$ は $K$ の閉集合であり、閉集合の任意の共通部分は閉集合なので、これも $K$ の閉集合です。よって共通部分も $k$閉集合です。
3. 有限個の和集合： 有限個の $k$閉集合 $A_1, A_2, \dots, A_n$ に対し、その和集合を考えると、 $$ g^{-1}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \bigcup_{i=1}^n g^{-1}(A_i) $$ となります。閉集合の有限和は閉集合なので、これも $K$ の閉集合です。よって有限和も $k$閉集合です。

以上から $\mathcal{T}_k$ は位相を定めます。また、元の位相 $\mathcal{T}$ の閉集合 $A$ は、任意の連続写像 $g$ に対し $g^{-1}(A)$ が必ず閉集合になるため、自動的に $k$閉集合です。したがって、常に $\mathcal{T} \subset \mathcal{T}_k$ （$\mathcal{T}_k$ の方が開集合・閉集合が多く、位相が強い）が成り立ちます。

必要十分条件の証明：

コンパクト生成空間の定義は、「すべての $k$閉集合が、元の位相 $\mathcal{T}$ においても閉集合である」ということです。これは「$\mathcal{T}_k$ の閉集合 $\implies$ $\mathcal{T}$ の閉集合」すなわち $\mathcal{T}_k \subset \mathcal{T}$ を意味します。

すでに $\mathcal{T} \subset \mathcal{T}_k$ は普遍的に成り立つことを示しているため、次の同値関係が得られます： $$ X \text{ がコンパクト生成} \iff \mathcal{T}_k \subset \mathcal{T} \iff \mathcal{T} = \mathcal{T}_k \iff X = kX $$

$(\Rightarrow)$ の証明：

$X$ をコンパクト生成空間とします。$X$ へのすべての連続写像 $g: K \to X$（ただし $K$ はコンパクトハウスドルフ空間）の全体を添字集合 $\mathcal{I} = \{(K_g, g)\}$ として集めます。

これらのドメインであるコンパクトハウスドルフ空間の離散和（Disjoint union）空間を $H$ と定義します： $$ H = \coprod_{(K_g, g) \in \mathcal{I}} K_g $$ 各成分からの自然な注入写像（包含）を $i_g: K_g \to H$ とします。ここで、全射写像 $p: H \to X$ を、各成分の上で $p \circ i_g = g$ となるように一意に定義します。

• $p$ の全射性： $X$ の任意の点 $x \in X$ に対し、1点空間 $K_x = \{*\}$（これはコンパクトハウスドルフ空間）から $x$ への定値写像 $h_x: \{*\} \to X$ を考えると、これは $\mathcal{I}$ の元です。したがって、$x = h_x(*) = p(i_{h_x}(*))$ となり、 $x$ は $p$ の像に含まれます。よって $p$ は全射です。
• $p$ が商写像であることの確認： 商位相の定義より、「$X$ の部分集合 $A$ が閉集合 $\iff p^{-1}(A)$ が $H$ の閉集合」を示します。
  離散和の位相の定義から、$H$ の部分集合 $p^{-1}(A)$ が閉集合であるための必要十分条件は、すべての成分への引き戻し $i_g^{-1}(p^{-1}(A))$ が $K_g$ の閉集合となることです。ここで、 $$ i_g^{-1}(p^{-1}(A)) = (p \circ i_g)^{-1}(A) = g^{-1}(A) $$ ですから、次が成り立ちます： $$ p^{-1}(A) \text{ が } H \text{ の閉集合} \iff \text{任意の } g \in \mathcal{I} \text{ に対して } g^{-1}(A) \text{ が } K_g \text{ の閉集合} $$ この右辺の条件はまさに「$A$ が $k$閉集合である」という条件そのものです。いま $X$ はコンパクト生成空間であると仮定しているので、これは「$A$ が $X$ の通常の閉集合である」ことと同値です。

したがって、$A \subset X$ が閉集合 $\iff p^{-1}(A) \subset H$ が閉集合 となり、$p$ は商写像です。すなわち、$X$ はコンパクトハウスドルフ空間の離散和 $H$ からの商空間です。

$(\Leftarrow)$ の証明：

ある商写像 $p: H \to X$ が存在し、その定義域が $H = \coprod_{\lambda \in \Lambda} K_\lambda$（各 $K_\lambda$ はコンパクトハウスドルフ空間）であると仮定します。このとき $X$ がコンパクト生成空間であることを示します。

$X$ の $k$閉集合 $A$ を任意に取ります。目標は $A$ が $X$ の通常の閉集合であることを示すことです。$p$ は商写像なので、商位相の定義より $p^{-1}(A)$ が $H$ の閉集合であることを示せば十分です。

離散和の位相の定義より、$p^{-1}(A)$ が $H$ の閉集合であることを示すには、任意の $\lambda \in \Lambda$ に対して、自然な包含 $i_\lambda: K_\lambda \to H$ による逆像 $i_\lambda^{-1}(p^{-1}(A))$ が $K_\lambda$ の閉集合であることを示せばよいです。

ここで、合成写像 $p \circ i_\lambda: K_\lambda \to X$ を考えます。$p$ も $i_\lambda$ も連続なので、$p \circ i_\lambda$ はコンパクトハウスドルフ空間 $K_\lambda$ から $X$ への連続写像です（すなわち $p \circ i_\lambda \in \mathcal{C}(X)$）。
したがって、次の等式が成り立ちます： $$ i_\lambda^{-1}(p^{-1}(A)) = (p \circ i_\lambda)^{-1}(A) $$ いま $A$ は $X$ の $k$閉集合であり、$p \circ i_\lambda$ はコンパクトハウスドルフ空間からの連続写像なので、$k$閉集合の定義より $(p \circ i_\lambda)^{-1}(A)$ は $K_\lambda$ の閉集合となります。

これがすべての $\lambda \in \Lambda$ について成り立つため、$H$ の離散和位相の定義から $p^{-1}(A)$ は $H$ の閉集合となります。そして $p$ が商写像であることから、$A$ は $X$ の通常の閉集合です。したがって、$X$ はコンパクト生成空間です。